I-Généralités
Une
section est sollicitée en flexion composée s’elle est soumise simultanément à :
·
Un effort normal noté N :
ü N sera compté
positif dans le cas d'une compression.
ü N sera compté
négatif dans le cas d'une traction.
·
Un moment de flexion au centre de
gravité (de la section de béton seule) noté 𝑀𝐺0.
Le torseur (M,N) revient à appliquer un effort N au
point C, appelé « centre de pression». La distance de C au centre de gravité de
la section de béton est appelée « excentricité » et est notée 𝑒0.
En flexion composée, la 1ère étape
consiste donc la position du point C en fonction de l'excentricité : 𝑒0= 𝑀𝐺0𝑁
Le signe de 𝑀𝐺0 fournit une indication sur la
position des aciers tendus :
En fonction du signe de N et de la valeur de 𝑒0, on distingue plusieurs cas de figure :
·
Si N est négatif
(traction) et que le point C est situé entre les deux nappes d’armatures
longitudinales, on est dans le cas d’une section entièrement tendue.
·
Si N est négatif
(traction) et que le point C est situé à l’extérieur des deux nappes
d’armatures longitudinales, on est dans le cas d’une section partiellement
tendue.
·
Si N est positif et que
le point C est situé ailleurs le noyau central, on est dans le cas d’une section
partiellement comprimée.
·
Si N est positif
(compression) et que le point C est situé dans le noyau central, on est dans le
cas d’une section entièrement comprimée.
Remarque :
Les cas d’une section partiellement
comprimée ou partiellement tendue sont traités de la même façon, seul le signe
de N change et aura tendance à majorer ou à minorer les aciers issus du
dimensionnement en flexion simple.
II- Prise en compte forfaitaires des effets de second ordre
La
prise en compte des effets du second ordre a pour but de majorer les efforts
issus du calcul RDM. Pour cela, on détermine une excentricité du second ordre.
Cette excentricité du 2nd ordre
viendra se cumuler à l'excentricité du 1er ordre pour majorer les efforts en
conséquence.
Excentricité du 1er ordre :
L'excentricité
du 1er
ordre
à l'ELU a pour valeur : 𝑒1=𝑒0+𝑒𝑎
Avec 𝑒0=
𝑀𝐺𝑢0𝑁
et
𝑒𝑎=𝑚𝑎𝑥
{𝑙2502𝑐𝑚
Excentricité du 2éme ordre :
Pour
déterminer l'excentricité du second ordre, on distingue 2 cas de figure :
Si
𝑙𝑓ℎ>𝑚𝑎𝑥{15|20𝑒1ℎ} on
doit vérifier la pièce à l'état limite ultime de stabilité de forme
(flambement).
Si
𝑙𝑓ℎ≤𝑚𝑎𝑥{15|20𝑒1ℎ} on
détermine l'excentricité du 2nd ordre 𝑒2 de
façon forfaitaire.
L'excentricité du 2nd ordre
: 𝑒2=3𝑙𝑓2104ℎ(2+𝛼𝜑) avec
·
𝑙𝑓 Longueur
de flambement.
·
ℎ Hauteur de la section.
·
𝜑 Coefficient pris égal à 2.
·
𝛼=𝑀𝐺𝑀𝐺+𝑀𝑄 𝑀𝐺 𝑒𝑡 𝑀𝑄 Sont les moments permanents et d’exploitation.
Remarque :
1-La prise en compte forfaitaire des effets du second ordre n'est
valable que dans le cas d'un dimensionnement à l'ELU.
2-Dans le cas d'un dimensionnement à l'ELS, seule l'excentricité 𝑒0=𝑀𝑠𝑒𝑟𝑁𝑠𝑒𝑟 sera
prise en compte.
3-La prise en compte forfaitaire des effets du second ordre concerne
juste les poteaux et non plus les poutres.
4-Les sections entièrement tendues ne sont pas concernées par la
majoration par les effets de second ordre.
D’après avoir déterminé les excentricités, on peut déterminer les
sollicitations corrigées.
III-Section entièrement tendue
Comme
nous l'avons vu précédemment, la section est considérée entièrement tendue (à
l'ELU comme à l'ELS) si :
·
N est une traction (N < 0).
·
C tombe entre les armatures.
La
2éme condition se
traduit comme suit : 𝑒0≤𝑑
Section minimale
Dans
le cas d'une section entièrement tendue, la section minimale d'armature à
mettre en oeuvre vaut : 𝐴1+𝐴2≥𝐴𝑚𝑖𝑛=𝐵𝑓𝑡28𝑓𝑒
En
général, les armatures minimales sont placées symétriquement dans la section de
béton.
Exemple 1 :
Soit
une poutre dont les caractéristiques géométriques suivantes :
·
Section 25𝑐𝑚×65𝑐𝑚
d=58𝑐𝑚
𝑑′=5𝑐𝑚
Soumis
aux sollicitations suivantes :
·
Charges permanentes 𝑀𝑔=22𝐾𝑁.
𝑚 𝑁𝑔=−250𝐾𝑁
Charges
d’exploitation 𝑀𝑞=25𝐾𝑁. 𝑚 𝑁𝑞=−230𝐾𝑁
Béton
𝑓𝑐28=30𝑀𝑃𝑎 Acier 𝐻𝐴 𝑓𝑒𝐸 500
Fissuration
préjudiciable.
Déterminer
la quantité d’aciers longitudinaux à l’ELS.
IV-Section partiellement tendue
Les
critères de détermination d'une section partiellement tendue s'expriment
différemment selon que l'on est en dimensionnement E.L.U ou E.L.S.
A l’ELS
1-Si
N est une compression (𝑁𝑠𝑒𝑟
>0)
et l'axe neutre de la section 𝑦 doit être dans la
section de béton, on a donc 𝑦≤ℎ.
Si
on note 𝑀𝑠𝑒𝑟𝑙𝑖𝑚, le moment de
service qui correspond à 𝑦=ℎ, on peut écrire :
Avec 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 représente
le moment fléchissant de service par rapport aux aciers tendus.
Si 𝑦≤𝑑, cela veut
dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu, ce qui
s'exprime par:
2-Si N est
une traction (𝑁𝑠𝑒𝑟 <0) => le point C doit être à l'extérieur
de noyau central.
En pratique, il suffit donc de calculer le moment réduit de la
section et de le comparer à la valeur de μ𝐵𝐶, pour
savoir si la section est entièrement ou partiellement comprimée.
NB : pour le calcul du moment réduit, il est impératif de prendre en
compte les excentricités du 1er et du 2nd ordre.
Avant de déterminer si la section est entièrement ou partiellement comprimée,
il faut donc calculer ces excentricités.
2-Si N est une traction (𝑁𝑢 <0)
=> le point C doit être à l'extérieur des armatures.
Calcul
des armatures
L'équilibre de la section se traduit par
le schéma suivant :
On considère le cas général d'une section ayant une section
d'aciers tendus A et une section d'aciers comprimés A'.
On étudie l’équilibre des forces et des moments comme si on est en
flexion simple.
On obtient :
A et A’ sont par un dimensionnement en flexion simple.
N étant pris avec son signe algébrique.
·
Si N est une
compression (N > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouvée
en flexion simple, car la compression est favorable.
·
Si N est une traction
(N < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouvée en
flexion simple, car la traction est défavorable.
Valeur de
Mua
Lorsqu’on détermine le moment 𝑀𝑢=(𝑒1+𝑒2) 𝑁𝑢, il
s'agit d'un moment par rapport au centre de gravité de la section de béton
seul.
Il est donc impératif de calculer 𝑀𝑢𝑎, le
moment par rapport au centre de gravité des aciers.
𝑀𝑢𝑎=𝑁𝑢×𝑒𝐴
·
Si 𝑁𝑢≥0 alors 𝑒𝐴=(𝑒1+𝑒2) +(𝑑−ℎ2)
·
Si 𝑁𝑢<0 alors 𝑒𝐴=|𝑒0|−(𝑑−ℎ2)
La position des aciers tendus
