Plan
• Enoncé du problème
• Equation de Navier
• Simplification de l’équation de Navier
• Forme générale de la solution
• Expression générale des déplacements
• Expression générale des déformations
• Expression générale des contraintes
• Conditions aux limites
• Solution du problème de Boussinesq
1 Enoncé du problème
Le problème de Boussinesq consiste à étudier un
milieu continu semi infini élastique linéaire et isotrope soumis à une charge
ponctuelle normale au plan qui le limite.
2 Equation de Navier
L’équation de Navier s’écrit en l'absence de
forces volumiques sous la forme :
La symétrie du problème suggère l'usage de
coordonnées sphériques ayant pour origine le point d'application de la charge.
Toujours pour des raisons de symétrie, le
déplacement doit être nul, de même que toute espèce de dérivées par rapport à
la longitude.
Nous utiliserons alors les expressions des
opérateurs divergence et rotationnel en coordonnées sphériques.
OM = rer
3 Simplification de l’équation de Navier
4 Forme générale de la solution
On applique la séparation des variables en écrivant
:
Cette forme est suggérée par le fait que la
force appliquée doit être équilibrée par des contraintes agissant sur
l'hémisphère de rayon r, dont la surface vaut .
Les contraintes seront donc de la forme :
H ( Φ
) / r²
Les déplacements sont des combinaisons de
primitives des contraintes, ils seront donc de la forme (5).
L’équation différentielle (8) est linéaire à
coefficients variables. Elle admet visiblement la solution particulière suivante
:
C1 = cosq
Sans aller jusqu’à résoudre complètement (8),
on pourra résoudre le présent problème en se limitant à la solution suivante :
C = a
cosq
où a est une constante réelle à déterminer.
Détermination de B :
Mais l’expression (13) ne peut être admise
telle quelle, car elle donnerait un déplacement ortho radiale infini sur l’axe
des z, du fait du sin aux dénominateurs des deux termes extrêmes. Pour obtenir
un déplacement fini, on doit avoir lorsque q est
petit.
8 Conditions aux limites
La condition portant sur la contrainte ortho
radiale est automatiquement vérifiée.
Quant à la nullité de la contrainte de
cisaillement, elle nécessite :
a + 2b
= 0
Il faut à présent exprimer a en termes de la
charge F. Pour ce faire, on notera que la résultante des contraintes sur
n'importe quel hémisphère centré sur le point d'application de la charge doit
équilibrer F. Cette condition s’écrit.
soit par intégration par rapport à la longitude.
Un long calcul (Mais très simple à faire).
9 Solution du problème de Boussinesq
Connaissant les valeurs de a et b données par
(18), on peut enfin obtenir la solution générale du problème de Boussinesq.
On constatera que la solution de Boussinesq est
purement théorique, car elle entraîne un déplacement et des contraintes infinis
à l’origine O.
Dans la pratique, il n’existe aucun moyen pour
appliquer une force parfaitement ponctuelle. De même, aucun matériau n’admet
une contrainte limite d’élasticité qui est infinie.
Il faut donc reprendre le problème avec les
hypothèses de chargement réparti et de matériau élastoplastique.
Cependant, lorsqu’on se place suffisamment loin
de O, le principe de Saint-Venant nous permet d’exploiter la solution du
problème de Boussinesq pour prédire l’état de déformation et de contrainte dans
le milieu semi-infini.
TP3 : Essai œdométrique
A. But de l’essai :
Q1 : La possibilité de déformations latérales qui existent in situ a-t-elle
une influence sur le tassement final ? Laquelle ?
Si les déformations latérales ne sont pas nulles, elles ont
une influence d’augmenter le tassement final.
Q2 : Lorsque la surface chargée est de grande
dimension par rapport à l’épaisseur de la couche compressible, les conditions
de l’expérience œdométrique représentent-elles bien la réalité ? Donner des
exemples concrets.
Lorsque la surface chargée est de
grande dimension par rapport à l’épaisseur de la couche compressible, les
déformations latérales devient négligeables devant des déformations verticales.
Et comme dans l’essai œdométrique, l’enceinte cylindrique rigide qui entoure
l’éprouvette, interdit toutes les dilatations radiales du sol, de sorte que les
déformations qui se produisent lorsqu’on applique une pression sur le piston
sont uniquement verticales. Alors on peut dire que les conditions de
l’expérience œdométrique représentent bien la réalité.
Des exemples concrets : Remblai
B. Le sol :
Q3 : Dire quel est l’intérêt d’utiliser un sable par rapport à l’argile pour
faire une manipulation de TP sur l’essai œdométrique. Quel est l’inconvénient
?
C. Principe de l’essai :
Q4 : Le module œdométrique n’est pas une
constante. De quoi dépend-il ?
Le module œdométrique n’est pas une constante, ile est calculé
entre deux points de chargement, alors il dépend du choix de l’intervalle de
charge.
Q5 : Compte tenu des conditions de l’expérience
œdométrique, quelle est la différence entre le module d’Young et le module
œdométrique ?
On a la relation entre le module d’Young et le module
œdométrique s’écrit comme suit :
La différence entre le
module d’Young et le module œdométrique est que module Eoed n’est
pas une constante à la différence du module de Young de la théorie de l’élasticité,
ainsi le module œdométrique traduit la déformation du sol par paliers, alors
que le module de Young relie le caractère de compressibilité avec le début de
la déformation.
Q6 : Calculer le rapport entre Eoed et E pour un
sol élastique linéaire homogène et isotrope de coefficient de Poisson ν =1/ 3 ? Expliquez pourquoi le module E est plus
faible que Eoed.
Dans l’œdomètre, l’échantillon est fretté latéralement, il tassera donc moins que s’il était soumis à une compression simple, Le matériau va paraitre moins compressible, plus raide, qu’il ne l’est en réalité. Comme le module de croit avec la raideur, le module de Young est plus faible que le module œdométrique Eoed
Et d’après la formule donc le module de Young est plus faible que le module œdométrique
Eoed.
D. Mode opératoire de l’essai
œdométrique :
Q7 : Décrire brièvement (sur au
plus une page) le mode opératoire de l’essai œdométrique.
1- Préparation de l’éprouvette :
Le prélèvement de l’échantillon qui est la partie la plus délicate d’une
reconnaissance géotechnique, se fait à l’aide d’un carottier, l’échantillon
doit être représentatif de la carotte prélevée, en cas d’hétérogénéité de
celle-ci, le choix effectué doit être explicite et accompagné d’une description
détaillée de l’ensemble de la carotte, il convient que toutes les zones
remaniées soient exclues.
2- Taillage : Ce type de cellule
œdométrique est munie d’une trousse coupante de forme cylindrique qui portera
l’éprouvette de sol par taillage. Pour cela on doit opérer de la manière suivante
: tout en s’appuyant légèrement sur la trousse coupante qui est placée sur
l’échantillon, on commence à tailler au couteau d’une façon tronconique afin de
conserver un diamètre toujours supérieur au diamètre final. Il s’agit là
d’obtenir une éprouvette :
-
Non remaniée par le taillage
-
Cylindrique aux dimensions exactes de la trousse coupante ;
-
Ayant deux faces planes et parallèles.
Ces
critères dépendent de la nature du sol, de l’expérience et l’habilite de
l’opérateur. le taillage étant terminé , peser l’ensemble trousse coupante +
échantillon pour pouvoir calculer la teneur en eau exacte en fin d’essai et la
densité apparente.
3- Saturation de la cellule : Il est nécessaire de
saturer toutes les conduites qui composent la cellule œdométrique, conduite de
la contre pression, de la pression interstitielle et de la chambre par laquelle
est appliquée la pression verticale, afin d’éviter la présence d’air ; cette
opération peut se faire avant la mise en place de l’éprouvette dans la cellule.
4- Mise en place de l’éprouvette : Mettre
l’éprouvette de sol entre deux papiers filtres et placer l’ensemble trousse +
échantillon dans le logement prévu à cet effet, au niveau de la partie
supérieure de la cellule doit être assemblée à la partie inférieure.
5- Remarque : L’essai consiste à soumettre l’échantillon à la série de charges et mesurer le tassement de l’échantillon au cours du temps sous chacune de ces charges et chacune d’elles sera maintenue 24h.
